1ª QUESTÃO
Se uma função f for derivável, então f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada
de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de ordem 2), e assim por diante. As
derivadas primeira e segunda de uma função carregam informações importantes, como: seja f uma função
contínua no intervalo
a, b
e derivável em (a, b).
i) Se f ’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em
a, b
.
ii) Se f ’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em
a, b
.
Agora:
Seja f uma função derivável em um intervalo (a, b) e seja c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ’(c)
= 0, com a < c < b. Se f admite a derivada segunda em (a, b) então:
i) Se f ”(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c.
ii) Se f ”(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c.
Sobre as aplicações das derivadas primeira e segunda para obter possíveis pontos de mínimo ou máximo de
uma função, observe a função a seguir: f(x) = -x + 15.x . Ao estudar a disciplina de Cálculo, Matheus se
depara com tal função e precisa saber, caso exista, qual ou quais são os pontos de mínimo e/ou de máximo
dessa função f(x). Ao fazer os cálculos usando a derivada primeira e a derivada segunda da função f(x),
Matheus poderá encontrar os pontos de mínimo e/ou de máximo. Caso Matheus os encontre, tais valores
serão:
ALTERNATIVAS
3 2
0.
10.
15.
0 e 10.
10 e 15.
2ª QUESTÃO
A aparência externa remete à borracha. Ninguém imagina, no entanto, que o pneu possa contar com tantos
e variados componentes responsáveis pelo desempenho necessário para garantir, com segurança, todas as
características exigidas por esse complexo produto. Ele é fabricado para rodar por milhares de quilômetros
em todos os tipos de estrada, em terrenos enlameados, pistas pedregosas, desertos e até terras geladas. A
proporção dos itens na composição do pneu varia de acordo com seu uso. Por exemplo, nos pneus de
automóveis de passeio, que rodam em estradas pavimentadas, a borracha sintética é mais usada que a
borracha natural. Nos pneus de caminhões de carga, empregados em múltiplas estradas, predomina o uso
da borracha natural, por sua maior resistência aos cortes e lacerações. A presença do negro de fumo ou
carbono amorfo, derivado do petróleo, é fundamental em todos os compostos de borracha, porque confere
resistência à abrasão e deixa o pneu preto. Além disso, é imprescindível o uso do enxofre, elemento
vulcanizante, somado com vários outros produtos químicos, catalisadores, plastificantes e cargas
reforçantes.
Fonte: adaptado de: https://www.anip.org.br/fabricacao/. Acesso em: 29 ago. 2023.
Com relação à fabricação de pneus, a função R(q) = -0,4q +400q expressa a receita R em reais, para a
venda de q unidades de um tipo de pneu. Com base na função dada, assinale a alternativa que expressa,
respectivamente, a quantidade de pneus vendidos para se ter a receita máxima e o valor da receita máxima:
ALTERNATIVAS
Quantidade q = 100 e receita R$ 1000,00.
Quantidade q = 100 e receita R$ 10.000,00.
Quantidade q = 500 e receita R$ 10.000,00.
Quantidade q = 500 e receita R$ 100.000,00.
Quantidade q = 100 e receita R$ 1000.000,00.
3ª QUESTÃO
2
Uma integral é dita indefinida quando não se conhece os limites de integração, ou seja, o intervalo no qual
ela está sendo integrada. Exemplo: . Na integração indefinida, a função resultante será a
função integrada F(x), sendo necessário somá-la a uma constante, chamada de constante de
integração. Diferentemente da integral indefinida, os limites da integral definida já estão estabelecidos. Para
resolvê-la, basta encontrar a integral da função em questão, e neste resultado substituir os valores dos
limites superior e inferior. Como as constantes de integração são iguais, a integral definida é a subtração das
funções primitivas substituídas pelos limites superior e inferior, neste caso (B e A, respectivamente).
Com relação às definições sobre Integral Definida, observe a função a seguir: f(x) = 5x +7x-2. Calculando a
Integral Definida dessa função em relação à variável x, nos valores 0 e 2, ou seja:
, teremos como resultado:
ALTERNATIVAS
0.
-4.
10.
14.
23.
4ª QUESTÃO
Uma das aplicações da Integral de uma função f ‘(x) é obter a função primitiva f(x) quando se tem a
derivada, ou seja, f ‘(x). Ao fazer um trabalho em uma empresa, João sabe que a taxa de variação
instantânea, a derivada, da função receita de um produto é dada pela função R ‘(q) = 3q , em que R
representa a receita em reais, e q representa a quantidade de produtos vendidos em unidades. João precisa
saber qual é o valor da receita quando se vende 500 unidades de tal produto. Assim, João faz a Integral da
função R ‘(q) obtendo a função R(q) e a calcula no valor 500.
Sobre o valor que João encontra após esses cálculos, assinale a alternativa correta:
ALTERNATIVAS
500 + c.
125000 + c.
250000 + c.
500000 + c.
125000000 + c.
5ª QUESTÃO
2
2
Como estudado na disciplina de cálculo, é possível determinar extremos, assim como os mínimos e/ou
máximos de uma função utilizando as suas derivadas. Esses recursos podem ser úteis para se encontrar
soluções de problemas que exigem os melhores valores possíveis de uma variável, e muito aplicáveis no
cotidiano em problemas de otimização, otimização que é fundamental em qualquer meio aplicado afim de
se descobrir mínimos ou máximos do que se está estudando ou trabalhando.
Sobre a questão de mínimos e/ou máximos de funções, observe o gráfico a seguir.
Fonte. O autor.
No gráfico, consta informações sobre mínimos e máximos de uma função. Sobre as representações
expressas no gráfico, analise as afirmativas a seguir.
I. O maior valor da função f(x) acontece quando ela é aplicada no ponto f.
II. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada segunda de f(x) calculada no ponto b,
apresenta um valor positivo.
III. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada segunda de f(x) calculada no ponto c,
apresenta um valor positivo.
IV. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada primeira de f(x), é igual a zero no
ponto d.
V. O menor valor da função f(x) acontece quando ela é aplicada no ponto c.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e II, apenas.
II, III e IV, apenas.
IV e V, apenas.
I, III, IV e V, apenas
