Projeto e Análise de Compensadores por Intermédio da Resposta em Frequência Utilizando o Fator k
1. OBJETIVO
Realizar o projeto e a análise de compensadores utilizando a técnica do fator k, aplicado a um conversor CC-CC abaixador de tensão;
2. MATERIAL UTILIZADO
A Atividade Prática de Controle Contínuo será utilizada com a utilização do software de simulação gratuito Scilab. O aluno poderá fazer o download do software no endereço.
https://www.scilab.org/download/6.1.1
Além disso, aconselha-se fortemente, assistir a Aula prática 1 (Aula 7) e a Aula Prática 3 (Aula 9).
O aluno deverá simular e resolver os seguintes exercícios e entregar o relatório em um ARQUIVO ÚNICO NO FORMATO PDF no AVA no ícone Trabalhos.
3. INTRODUÇÃO
Os conversores CC-CC são circuitos eletrônicos de potência que tem a finalidade de alterar um nível de tensão em corrente contínua, da sua entrada para a sua saída, por isso são chamados de conversores CC-CC. Eles podem elevar ou diminuir uma tensão CC, dependendo da topologia e do funcionamento.
Para esta Atividade Prática, vamos utilizar o conversor CC-CC abaixador de tensão, cujo circuito é mostrado na Figura 1.
Figura 1 – Conversor CC-CC abaixador-elevador de tensão.
Este circuito possui uma função de transferência dada por
onde vc(s) que representa a tensão no capacitor saída é o sinal de saída, e d(s) que representa a razão cíclica é o sinal de entrada.
Para os exercícios a seguir, considere os seguintes parâmetros da função de transferência.
– L = 2 mH
– C = 470 mF
– R = 2 Ω
– E = 100 V
– D = 0,25
Com o auxílio do Scilab, realize as etapas a seguir para projetar e analisar um sistema de controle para este conversor.
O fator k é uma técnica de controle que permite o projeto de três tipos de compensadores, cada qual com sua característica específica, denominados de compensadores Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3, mostrados na Figura 2.
Nos circuitos da Figura 2, o sinal IN é o sinal amostrado da tensão de saída do conversor CC-CC. O sinal Vref é o valor normalizado que se deseja na saída.
Figura 2 – Compensadores do Tipo 1, Tipo 2 e Tipo 3.
Por exemplo, vamos supor que um circuito como mostrado na Figura 1, possui uma tensão de saída (que é a tensão sobre o capacitor e sobre o resistor) seja de 100 V. Então deve-se projetar um divisor resistivo, por exemplo, de modo que a tensão no ponto médio seja equivalente a 100V. Esta tensão pode ser de 2,5 V, por exemplo, e será o sinal IN do compensador.
Assim sabe-se que se no ponto médio do divisor resistivo houver 2,5 V, na saída haverá 100 V. Portanto, a tensão Vref deve ser de 2,5 V.
Então os compensadores atuam sobre a diferença entre o sinal Vref e IN, e com base na atuação, resulta-se no sinal OUT, que atuará sobre o conversor, regulando a tensão de saída.
Independentemente do tipo de compensador utilizado, alguns passos devem ser seguidos para o projeto dos compensadores.
Passo 1) Obter o diagrama de Bode da planta em malha aberta.
Passo 2) Escolher a frequência de corte desejada (fc).
Passo 3) Escolher a margem de fase desejada (MF).
A margem de fase é um valor escolhido pelo projetista que deve ficar entre 45º e 90º. Para a maioria dos casos, 60º é uma boa escolha.
Passo 4) Determinar o ganho do compensador (G).
Este ganho é calculado fazendo
O valor de GdB é o valor obtido no gráfico de magnitude, em dB, do diagrama de Bode, na frequência de corte (fc) escolhida.
Passo 5) Determinar o avanço de fase desejado (α).
O avanço de fase desejado é dado por
onde P é a defasagem provocada pelo sistema, que é o ângulo na frequência de corte no gráfico de fase no diagrama de Bode.
Passo 6) Escolher o compensador (Tipo 1, Tipo 2 ou Tipo 3).
Passo 7) Cálculo do fator k
Para um compensador do Tipo 1, o fator k é sempre 1.
Para um compensador do Tipo 2, o fator k é dado por
Para um compensador do Tipo 3, o fator k é dado por
Após o Passo 7, cada um dos compensadores possui um equacionamento específico para a determinação de seus componentes.
Independentemente do tipo do compensador escolhido, deve-se atribuir um valor para o resistor R1, e a partir dele, e de alguns dados determinados nos Passos de 1 a 7, determina-se o valor dos demais elementos.
A seguir segue o equacionamento de cada um dos compensadores.
Compensador Tipo 1
Compensador Tipo 2
Compensador Tipo 3
4. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS
QUESTÃO 1) A partir da função de transferência do conversor CC-CC, apresente a reposta em frequência (diagrama de Bode) para uma frequência de 1 mHz até 1 MHz. Mostre o código que foi implementado no Scilab.
Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado.
| Código Implementado no Scilab para a declaração da função de transferência e da resposta em frequência do conversor |
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| Figura da resposta em frequência do conversor. Gráfico de módulo e de fase entre 1 mHz e 1 MHz |
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QUESTÃO 2) Para uma margem de fase de 60º projete os componentes de um compensador do Tipo 2, para o referido conversor CC-CC.
Adote 100 Hz como frequência de corte desejada.
Para o valor do resistor R1 adote o número do seu RU divido por 1000, sem arredondamentos.
Exemplo:
Preencha a tabela com o que é solicitado.
| Defasamento provocado pelo sistema na frequência de corte desejada (P) |
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| Ganho em dB na frequência de corte desejada (GdB) |
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| Cálculo e valor do ganho do compensador (G) |
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| Cálculo e valor do avanço de fase desejado (alfa) |
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| Cálculo e valor do fator k |
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| Cálculo e valor de R1 |
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| Cálculo e valor de C2 |
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| Cálculo e valor de C1 |
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| Cálculo e valor de R2 |
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QUESTÃO 3) Apresente a dedução matemática para a obtenção da função de transferência do compensador do Tipo 2, e a função de transferência numérica, considerando os valores dos componentes encontrados na QUESTÃO 2.
Preencha a tabela a seguir com o que é solicitado.
| Dedução matemática da função de transferência do compensador do Tipo 2 |
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QUESTÃO 4) Considerando a função de transferência do compensador do Tipo 2, dada por
Apresenta a função de transferência do compensador, preenchendo a tabela a seguir.
| Código Implementado no Scilab para a declaração da função de transferência e da resposta em frequência do compensador. |
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| Figura da resposta em frequência do compensador. Gráfico de módulo e de fase entre 1 mHz e 1 MHz |
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QUESTÃO 5) Obtenha a resposta ao degrau para o sistema em malha aberta sem compensação.
– Sistema em malha aberta sem compensação:
Em que d(s) = 0,25 e G(s) é a função de transferência da planta. O vetor de tempo deve ser declarado como t = (0:0.0001:0.03).
Preencha a tabela a seguir com as respostas
| Código implementado no Scilab para a visualização da resposta ao degrau em malha aberta sem compensação. |
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| Figura da resposta ao degrau em malha aberta. |
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QUESTÃO 6) Considerando o seguinte diagrama em malha fechada com compensação.
em que C(s) é a função de transferência do compensador, e que G(s) é a função de transferência da planta. Apresente a resposta em frequência em malha aberta.
| Código implementado no Scilab para a visualização da resposta em frequência da função de transferência em malha aberta. |
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| Figura da resposta em frequência da função de transferência em malha aberta de 1 mHz até 1 MHz. |
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QUESTÃO 7) Apresente graficamente os polos e zeros da planta e do compensador. Utilize o comando plzr do Scilab.
| Código implementado no Scilab para a visualização os polos e zeros da planta |
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| Figura dos polos e zeros da planta da planta, G(s) |
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| Código implementado no Scilab para a visualização os polos e zeros do compensador |
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| Figura dos polos e zeros do compensador, C(s) |
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Observações:
Todas as observações a seguir devem OBRIGATORIAMENTE, serem atendidas. Qualquer uma delas que não seja atendida o trabalho será DESCONSIDERADO:
- Não serão aceitas figuras na forma de fotos de caderno e fotos de tela do computador. Questões que não atenderem este item serão desconsideradas;
- Todos os cálculos devem ser digitados utilizando um editor de equações. Figuras e textos com baixa resolução, ou em tamanho desproporcional serão desconsiderados.
- As questões devem ser respondidas EXCLUSIVAMENTE no espaço destinado a cada cálculo nas tabelas apresentadas em cada questão.
- O tamanho das tabelas pode ser alterado para que os cálculos e figuras caibam no espaço destinado à resposta.
- Quaisquer outras dúvidas, podem ser esclarecidas pela tutoria.
Opcional:
Para os alunos que desejarem se aprofundar mais em relação a projetos de controladores por meio do fator k, podem ler o artigo, em inglês, no link
Vale ressaltar que a leitura do artigo é opcional, não sendo necessária a sua leitura para a realização desta Atividade Prática.
